三阶行列式对角线法则(三阶行列式简单计算方法)

前言

MML:Mathematics for Machine Learning

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可以查看 MML学习笔记(一):线性代数之二阶与三阶行列式、全排列及其逆序数

二阶与三阶行列式

二阶行列式

「记作」

「定义」

主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差,即:

注:行列式本质是一个数值,比如

代表的就是数值(-2=1×4-2×3)

「举例」

答:

三阶行列式

「记作」

「举例」

答:

全排列及其逆序数

全排列

「定义」

从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排列起来,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

当m=n时所有的排列情况叫全排列。

「公式」

全排列数f(n)=n!(定义0!=1)

「举例」

用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数 ?

答:3×2×1=6种。

假设先放百位,有三种可能,再放十位,有两种可能,最后放个位,只有一种可能了。

故为3×2×1=6种

从上面例子可以发现:

当有n个不同数字进行排列时

第一个位置有(n)选择,第二个位置有(n-1)种选择…第n个位置有1种选择,一共有n*(n-1)(n-2)21种可能,也就是n!种排列方式。

我们用表示n种不同元素的所有排列的种数,则

1.2.2 逆序数

「概念」

  • 标准次序:n个不同的数字,我们可以规定从小到大为标准次序
  • 逆序:与标准排列次序相反(比如两个元素排序是从大到小,与标准次序相反,则视为逆序)
  • 「排列的逆序数:一个排列中所有逆序的总数」

「计算排列的逆序数的方法」

n个元素(依次为1,2,3…n-1,n),规定从小到大为标准次序

设为这n个元素的一个排列,对于元素(i=1,2…,n),如果比大的且排在前面的元素有个,那么就说这个元素的逆序数是。

全体元素的逆序数总和为t,那么

即是这个排列的逆序数。

「举例」

求排列32514的逆序数

答:3在第一位,前面没有数,逆序数为0

2在第二位,前面的数中,有一个数3比2大,所以逆序数为1

5的前面没有比5的数,逆序数为0

1的前面比1大的数有:3、2、5,所以逆序数为3

4的前面比4大的只有5,所以逆序数为1

综上,该排列的逆序数t=0+1+0+3+1=5

「补充概念」

  • 齐排列:逆序数为奇数的排列
  • 偶排列:逆序数为偶数的排列

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