负负得正是什么意思(初一数学负负得正口诀)

美国诗人奥登(W.H.Auden, 1907~1973)曾武断地说:“负负得正,其理由我们无须解释!”奥登的话暗示我们:许许多多的人在徒劳地寻求“负负得正”这个“悖论”就让他尝到了苦头。事实上,自从负数 概念进入数学课本以来,人们就没有停止过“负负得正”合理性的质疑。“负负得正”成了一个教学难点。

负负得正是什么意思(初一数学负负得正口诀)

对于这个问题,也许有人会用M.克莱因的“负债模型”进行回答:

“一人每天欠债5美元,给定日期(0美元),3天后欠债15美元。如果将5美元的债记成-5,那么每天欠债5美元,欠债3天可以用数学算式来表达:3×(-5)=-15. 同样,一人每天欠债5美元,那么给定日期(0美元),3天前,他的财产比给定的日期的财产多15美元。如果我们用-3表示3天前,用-5表示每天欠债,那么3天前他的经济情况可表示为(-3)×(-5)=15”。

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作为规定

翻阅了我们使用的教材。然而我十分失望,因为教材的说法没办法解释我们的疑惑!教材的相关内容如下:前面已经得出:3×(-2)=-6“再试一试:(-3)×(-2)=?把它与(-3)×2=-6,对比,这里把一个因数“2”换成了它的相反数‘-6’,所得的即积应该是原来的积‘-6’的相反数6,即(-3)×(-2)=6 .”。那为什么其中一个因数替换成相反数,积就一定会变成原来的相反数?对此书本并没有任何解释。

事实上,教材使用的思路是先通过对比“3×2=6”和容易解释的“(-3)×2=-6”这两个等式,总结出“两数相乘,若把一个因数换成它的相反数,则所得的积是原来的积的相反数.”于是再进一步由于“(-3)×(-2)是在(-3)×2的基础上,把因数‘-2’换成相反数‘2’,于是所得的积也会是原来的相反数‘6’。”

 

可以说,整数集Z上的一个二元运算是一个函数f:Z×Z→Z。如果f在自然数集合N上的限制f:N×N→Z的值都落在N内,而且和自然数乘法的结果一致,它就可以被看作是自然数乘法运算在整数上的推广,可以被叫做整数“乘法”。

显然是因为,负负得正的整数普通乘法比起其他的对自然数乘法的推广来说,有它的好处,而且是大好处。

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实用方面的考虑

(﹣5)×(﹣100)

什么意思?是你卖草莓连续﹣5天每天亏损100元?好像哪里不对劲。在这种现实情境下有点说不清道不明。

那咱们用数学的方法试试。

在说明负数乘负数之前先来复习一下小学的几个运算律,当然受过九年义务的“摧残”的我们都会。

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我们由0=0×(﹣100)开始

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我们利用了已有的加法和乘法运算律,中间出现了(﹣5)×(﹣100),怎么办?我们只能让它的结果是500。

苏联著名数学家盖尔范德(I.Gelfand, 1913~2009)则作了另一种解释:

3×5=15:得到5美元3次,即得到15美元;

3×(-5)=-15:付5美元罚金3次,即付罚金15美元;

(-3)×5=-15:没有得到5美元3次,即没有得到15美元;

(-3)×(-5)=+15:未付5美元罚金3次,即得到15美元。

两百年前,法国有一个男孩叫司汤达,他小时候特别热爱数学。当他在学校学到乘法法则的时候,对“负负得正”这个法则,完全没有办法理解。于是他向老师迪皮伊先生请教,然而老师对他的提问却是不屑一顾,让他记住就好。司汤达又去问补习学校的数学老师夏贝尔先生,夏贝尔先生不胜其烦,不断重复书本的描述不能让小司汤达满意,最后抛出一个“负数如同欠债”这样的比喻。然而这仍无法解释小司汤达的困惑:“500法郎的债乘10000法郎的债,得到5000000法郎的收入?”,这怎么解释得通?

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“负负得正”这个问题困扰了司汤达很久,最后他被迫接受了这个法则,但数学这门学问的严密性也让他深深质疑。以后他对数学再也没有那么大的兴趣了,而把更大的兴趣放在了文学上。后来聪明的司汤达成为了一位伟大的文学家,名著《红与黑》正是出自他的手笔。

这个故事令人唏嘘不已。要是当年司汤达的老师认真考虑一下同学的提问,而不是直接用“这是规定,没有为什么”之类的语言搪塞,扼杀学生的好奇心,那么或许以司汤达的聪明才智他也会在数学上很有成就呢!

高等数学中“群”、“环“等知识进行的解释与证明

证明1(由相反数的意义)由抽象代

数知识:Z是整环,Q是Z的分式城,故(Q,

+,·)构成环(其中Q为所有有理数构成的集合,乙是所有整数构成的集合)对任意的a,c∈Q,且a,c>0因为(Q,+)构成群,故存在b=Q,使得a+b=0(0为Q中的零元),又团为bc=(0-a)c=[0+(-a)]c=0-c+

(-a)e=(-a)c,即bc=(-a)c(*).两边同时加上ac,得:ac+bc=ac+(-a)c.因为(Q,+,·)构成坏,由乘法对加法的右分配律:

(-a)c+ac=[(-a)+a]c=0-c=0,即;ac+bc=0,也即bc=-ax,联合(*)式得:bc=(-a)c=-ax. 故:(-a)c=-ac.

结论1:两个有理数a,c相乘,把a换成-a后,即(-a)与c相乘为原来积ac的相反数ac.对a与(-c)相乘,可由结论l得结论2:两个有理数a,(-c)相乘,把a换成-a后,即-a与-c相乘为原来积(-ac)的相反数ac.

但事实上,这也就隐含地说明了“负负得正”的原因。

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一点感想

读书时还有一个疑问,在学习无理数时对“无理数”这个名称感觉怪怪的,有理数是“有道理的数”?无理数难道是“没道理的数”?既然没道理我们还学它干嘛?这个疑问直到多年后偶然看到孙维刚老师的解释才迷团顿解。

原来,“有理数”和“无理数”这两个名词是从西方传来,在英语中是“rational number”和“irrational number”。而rational通常的意义是“理性的”,日本人据此把它翻译成“有理数”和“无理数”。

中国在近代翻译西方科学著作,照搬了日语中的翻译方法。但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为ratio,就是比率的意思(这里的词根是英语中的,希腊语意义与之相同)。所以这个词的意义也很显豁,就是整数的“比”。与之相对,“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非“没有道理”。所以更为合适的翻译应为“可比数”和“不可比数”,有理数都可化为两个整数的比,无理数则不能,这样从名称就可以反映它们的意义和本质。

我想如果老师能对一些不易理解的概念名词作合理的生活化的解释,学生就可以更轻松地接受新概念,更顺畅地理解新概念,也更自然地加深了记忆。

有人这样用类比的方法解释乘法符号法则的合理性:

好为正,坏为负。

好人好报是好事⇒ 正×正=正;

好人坏报是坏事⇒ 正×负=负;

坏人好报是坏事⇒ 负×正=负;

坏人坏报是好事⇒ 负×负=正。

细想一下,其中的道理确有相通之处,正是日常事理与数学规则的完美结合。

“19世纪德国数学家汉克尔(H.Hankel)早就告诉我们:在形式化的算术中,‘负负得正’是不能证明的。大数学家F.克莱因(F.Klein)也提出忠告:不要试图去证明符号法则的逻辑必要性。”

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参考文献

1.佟巍, 汪晓勤. 负数的历史与“负负得正”的引入[J]. 中学数学教学参考, 2005(Z1): 126-128.


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